När du skall derivera funktioner som ser ut enligt f(x) \cdot g(x) så används produktregeln. Det är alltså funktioner som består av en produkt av två funktioner.

Deriveringsregeln

f(x) \cdot g(x)

har derivatan

f´(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g´(x)

Du kan hitta flera olika bevis på nätet för denna regel, här är ett exempel:

• https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-8/a/proving-the-product-rule

Här nere tar vi ett antal olika exempel på hur du kan tillämpa produktregeln för att derivera funktioner. Det är funktioner som innehåller ”två funktioner” deriverade med varandra.

Exempel 1

Derivera f(x)=x^2 \cdot e^{2x}

Derivatan blir f'(x)=2x \cdot e^{2x}+x^2 \cdot 2e^{2x}

Här används deriveringsregler för polynomfunktioner och exponentialfunktioner tillsammans med produktregeln.

Exempel 2

Derivera f(x)=sinx \cdot cosx

Derivatan blir f'(x)=cosx \cdot cosx+sinx \cdot (-sinx) =cos^2x -sin^2x

Här används deriveringsregler för trigonometriska funktioner tillsammans med produktregeln.

Exempel 3

Derivera f(x)=\sqrt{x} \cdot 3x^3

Derivatan blir f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 3x^3+\sqrt{x} \cdot 9x^2

Här används deriveringsregler för polynomfunktioner och potensfunktioner tillsammans med produktregeln.

Exempel 4

Derivera f(x)=sin(2x) \cdot 3x

Derivatan blir f'(x)=2cos(2x) \cdot 3x + sin(2x) \cdot 3

Här används kedjeregeln tillsammans med produktregeln.