När du deriverar potensfunktioner så används samma regel och principer som för polynomfunktioner. Ofta behöver du skriva om funktionen först med potensregler för att se hur du skall använda regeln.

Deriveringsregel för potensfunktioner

Funktionen f(x)=kx^n har derivatan f´(x)=n \cdot kx^{n-1}

Viktigt när dessa funktioner deriveras är också att

• Du får derivera term för term. Termer i ett algebraiskt uttryck separeras av additions- eller subtraktionstecken.
• Derivatan av en konstant är 0. Det betyder att derivatan av exempelvis 0,6, -203 och 12 345 är 0.

Viktiga potensregler

Ofta behöver du skriva om funktionsuttryck med potensregler för att se hur det deriveras. De potensregler (kallas också potenslagar) som oftast används är:

\sqrt{a}=a^{1/2}
\sqrt[b]{a}=a^{1/b}
a^{-b}=\frac{1}{a^b} (ofta baklänges)

Exempel 1

Derivera f(x)=-2x^{-10}

f'(x)=20x^{-11}

Här behöver du inte skriva om funktionen. Däremot behöver du notera att tecknet framför koefficienten byts.

Exempel 2

Derivera f(x)=\sqrt{x}

Vi skriver om funktionen till f(x)=x^{1/2} och använder deriveringsregeln.

f'(x)=\frac12 x^{-1/2}=\frac{1}{2x^{1/2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Notera att vi använder potensregler för att även skriva om derivatan så att den ser så ”snygg” ut som möjligt.

Exempel 3

Derivera f(x)=\frac{1}{x^2} + 10x

Vi skriver om funktionen först.

f(x)=\frac{1}{x^2} + 10x = x^{-2} +10x

Derivatan blir f´(x) = -2x^{-3} +10 = \frac{-2}{x^3} + 10

Återigen skriver vi om funktionen med potensregler både innan och efter deriveringen.

Exempel 4

Derivera f(x)= 4 \sqrt[3]{x}

Vi skriver först om funktionen till f(x)= 4 x^{1/3}

Derivatan är f(x) = \frac13 \cdot 4 x^{1/3-1} = \frac43 x^{-2/3}

Det är inte särskilt meningsfullt att skriva om derivatan på en ”snyggare” form i detta fall.

Skillnad mellan potensfunktion och polynomfunktion

Om det känns förvirrande vad som är en polynomfunktion och potensfunktion så är det förståeligt. Samma deriveringsregler används för bägge funktionstyperna. En polynomfunktion är faktiskt en enklare potensfunktion. I skolan brukar dessa särskiljas då potensfunktionerna är svårare att derivera.