Kvotregeln

När du skall derivera funktioner som ser ut enligt y=\frac{f(x)}{g(x)} så används kvotregeln. Det är alltså funktioner som består av en kvot av två funktioner.

Deriveringsregeln

y=\frac{f(x)}{g(x)} har derivatan y´=\frac{f´(x)g(x)-f(x)g´(x)}{(g(x))^2}

Viktigt är att g(x) ≠ 0. (Man får inte dela med 0)

Här nere tar vi ett antal olika exempel på hur du kan använda dig av kvotregeln för att derivera funktioner. Det är funktioner som innehåller ”två funktioner” delade med varandra.

Exempel 1

Derivera f(x)=\frac{e^x}{x^2}

Derivatan blir f(x)=\frac{e^x \cdot x^2-e^x \cdot 2x}{x^4}

Här används deriveringsregler för polynomfunktioner och exponentialfunktioner tillsammans med kvotregeln.

Exempel 2

Derivera f(x)=\frac{sinx}{cosx}

Derivatan blir f'(x)=\frac{cosx \cdot cosx – sinx \cdot (-sinx)}{cos^2x} =\frac{cos^2x+ sin^2x}{cos^2x}

Här används deriveringsregler för trigonometriska funktioner tillsammans med kvotregeln.

Exempel 3

Derivera f(x)=\frac{\sqrt{x}}{3x^3}

Derivatan blir f'(x)=\frac{ \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 3x^2 – \sqrt{x} \cdot 9x^2 }{9x^6}

Här används deriveringsregler för polynomfunktioner och potensfunktioner tillsammans med kvotregeln.

Exempel 4

Derivera f(x)=\frac{sin(2x)}{3x}

Derivatan blir f'(x)=\frac{2cos(2x) \cdot 3x – sin(2x) \cdot 3}{9x^2}

Här används kedjeregeln tillsammans med kvotregeln.