En polynomfunktion är en funktion som endast innehåller exponenter som är positiva heltal. Ett exempel på ett polynom är f(x)=x^3+2x^2+12.

Deriveringsregel för polynomfunktioner

För att derivera polynomfunktioner använder du följande deriveringsregel:

Funktionen f(x)=kx^n har derivatan f´(x) = n \cdot kx^{n-1}

Viktigt när dessa funktioner deriveras är också att

• Du får derivera term för term. Termer i ett algebraiskt uttryck separeras av additions- eller subtraktionstecken.
• Derivatan av en konstant är 0. Det betyder att derivatan av exempelvis 2, -203 och 2,67 är 0.

Exempel 1

Funktionen f(x)=2x^2 har derivatan f'(x)=4x

Här multiplicerar du exponenten 2 med koefficienten 2 och subtraherar med 1 i exponenten.

Exempel 2

Funktionen f(x)=3x^4+2x+10 har derivatan f'(x)=12x^3+2

Här deriverar du term för term. Tecknen ändras inte.

Exempel 3

Funktionen f(x)= \frac{2}{3} x^3 + 0,5x har derivatan f'(x)=3 \cdot \frac{2}{3} x^2+0,5 = 2 x^2+0,5

I den här funktionen har du ett bråktal som exponent. Det är dock fortfarande ett polynom då alla exponenter är positiva heltal.

Exempel 4

Bestäm f'(2) om f(x)= x^3 + 10x

Derivatan är f'(x)= 3x^2 + 10.

Nu sätter vi in x=2 i den deriverade funktionen.

f'(2)= 3 \cdot 2^2 + 10=3 \cdot 4 + 10 = 12+10=22

Bilden här ovan är utritad med grafverktyget Desmos.

Vad är inte en polynomfunktion?

Ett exempel på en funktion som inte är ett polynom är f(x)=x^{1/2}+2x. Detta då det finns en exponent som inte är ett heltal. Detta kallas istället för en potensfunktion.

Inte heller f(x)=4x^{-3}+2x är en polynomfunktion då en exponent är negativ. Även det är en potensfunktion.

Funktionen f(x)=4^x är ett exempel på en exponentialfunktion. I sådana funktioner sitter variabeln x i exponenten.