En tangent är en rät linje y=kx+m som skär en funktion y = f(x) kurva i en punkt. Tangenten är viktig att förstå då dess lutning (riktningskoefficient k) är lika med derivatan i den punkt där tangenten tangerar kurvan.

Vi kan definiera en tangent som att det är den räta linje som har lutningen f´(a) och som tangerar en funktions y = f(x) kurva i punkten (a, f(a)).

Så om du har en tangent som tangerar en funktion y=f(x) kurva i x = a så gäller att f´(a) = k. Dvs att tangentens lutning är lika med derivatan i x=a.

Exempel 1 – Bestämma tangentens ekvation

Nedan är grafen till andragradsfunktionen f(x) = x^2-4 utritad. Dessutom är tangenten i punkten (2, 0) utritad. Nedanför bilden använder vi derivata för att bestämma denna tangents ekvation på formen y=kx+m (räta linjens ekvation).

Vi börjar med att derivera funktionen med deriveringsregeln för polynomfunktioner: f'(x) = 2x

Vi ser att tangenten tangerar kurvan i x=2 och därför får vi dess lutning k genom k=f'(2) = 2 \cdot 2 = 4.

Nu vet vi att tangenten har lutningen k=4 och att den går genom punkten (2,0).

Med denna information kan vi ställa upp följande ekvation utifrån räta linjens ekvation y=kx+m:
0=4 \cdot 2 + m
0=8 + m
m=-8

Tangentens ekvation är alltså y=4x-8

Exempel 2 – Bestämma tangeringspunktens koordinater

Bestäm den/de punkters x-koordinater där tangentens lutning är 3 för funktionen f(x)=x^3

Vi börjar med att derivera funktionen med deriveringsregeln för polynomfunktioner: f'(x) = 3x^2.

Vi söker det x-värde där derivatan är lika med 3. Vi kan lösa ekvationen
3x^2=3
x^2=1
x= \pm 1

Tangenten har lutningen 3 då x= \pm 1